Qu'est-ce qu'un oscillateur harmonique ?

Pousse une balançoire puis lâche-la : elle va et vient en gardant presque le même rythme, de moins en moins loin. Une seule équation décrit ce mouvement.

Fais varier la figure

Période en secondes3Frottement0,05

\ddot{x} + 2\zeta\omega\,\dot{x} + \omega^2 x = 0

x(t) \approx e^{-\zeta\omega t} \cos(\omega t)

Épreuve n° 1. Chaque tirage change le calage des encres et le grain.

Lire la figure

Un aller-retour dure environ 3 s, et l'amplitude est divisée par deux en 6,6 s.

La courbe suit la position au fil du temps : elle part d’un côté, repasse par le milieu, va de l’autre côté. Le ruban change d’encre à chaque changement de sens et s’élargit quand le mouvement est rapide. Le peigne jaune montre l’amplitude qui reste.

Le frottement décide de tout. Sans lui, le mouvement ne s’arrêterait jamais. Un peu, et il s’éteint doucement, comme une balançoire qu’on ne pousse plus. Beaucoup, et il ne repasse même plus de l’autre côté : c’est ce qu’on veut pour une porte qui se referme sans claquer.

Oscillateur harmonique : exemples concrets

La balançoire

Pour de petits mouvements, une balançoire se comporte comme un pendule : sa période dépend de sa longueur, pas du poids de l'enfant. Avec des cordes de 2,5 m, un aller-retour dure environ 3,2 secondes.^[1]

La montre à quartz

Dans une montre, un minuscule diapason de quartz vibre 32 768 fois par seconde. Ce nombre vaut 2 puissance 15 : en le divisant quinze fois par deux, l'électronique obtient exactement un battement par seconde.^[2]

Les amortisseurs de voiture

Après une bosse, la voiture rebondit sur ses ressorts. Les amortisseurs ajoutent le frottement qu'il faut : le réglage se situe généralement entre 0,2 et 0,4 sur l'échelle du curseur, un compromis entre confort et tenue de route.^[3]

Les atomes d'une molécule

Deux atomes liés vibrent un peu comme deux masses reliées par un ressort. Ce modèle aide à comprendre la lumière infrarouge qu'une molécule absorbe, et donc à l'identifier.^[4]

À ne pas confondre

Ce n'est vrai que pour de petits mouvements: Si la balançoire monte très haut, la formule se trompe : la vraie période est plus longue. L'erreur dépasse 0,1 % au-delà de 7° d'écart, et 15 % à 90°.^[1]
Le pont de Tacoma n'est pas un exemple de résonance: Les manuels ont longtemps cité ce pont effondré en 1940. Billah et Scanlan montrent en 1991 que l'explication par la résonance simple est fausse : c'est le pont qui entretenait lui-même ses oscillations dans le vent.^[5]
Un vrai ressort finit par céder: Le modèle suppose un ressort parfait, qu'on pourrait étirer sans limite. Une vraie liaison entre atomes se rompt si on l'étire trop, et le modèle doit alors être corrigé.^[4]

Oscillateur, 3 sÉpreuve n° 1