À quoi servent les courbes de Bézier ?

Quelques points suffisent à décrire une courbe parfaitement lisse. C'est ainsi que sont dessinées les lettres que tu es en train de lire.

Fais varier la figure

Points de contrôle4

Position t sur la courbe0,50

B(t) = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} (1 - t)^{n-i}\, t^{i}\, P_i

Épreuve n° 1. Chaque tirage change le calage des encres et le grain.

Lire la figure

Avec 4 points, on coupe chaque segment à 50 % de sa longueur, 3 fois de suite : le dernier point obtenu est sur la courbe.

La bande jaune relie les points de contrôle et la courbe rouge est celle qu’ils décrivent. Les lignes bleues montrent la construction : on coupe chaque segment au même endroit, on relie ces nouveaux points, et on recommence jusqu’à n’en garder qu’un seul. Ce dernier point est sur la courbe. En faisant glisser t de 0 à 1, il la parcourt entièrement.

Tirer une épreuve déplace les points de contrôle. Regarde ce qu’il se passe en ajoutant un point : la courbe fait une ondulation de plus, mais reste parfaitement lisse.

Courbes de Bézier : exemples concrets

Les lettres de ton écran

Une police ne stocke pas des images de lettres, mais leurs contours. Dans les fichiers OpenType, ces contours sont des courbes de Bézier, de degré 2 ou 3 selon le format. C'est pour cela qu'un texte reste net quand on l'agrandit.^[1]

Les logos et les icônes

Le format SVG, utilisé pour les logos et les icônes du web, décrit les formes avec des commandes de courbes de Bézier. L'outil plume des logiciels de dessin fait manipuler ces mêmes points de contrôle.^[2]

La douceur des animations

Quand un menu glisse en ralentissant à la fin, sa vitesse suit souvent une courbe de Bézier cubique. La norme CSS du web en fait une fonction prête à l'emploi, cubic-bezier.^[3]

La carrosserie des voitures

Ces courbes viennent de l'automobile française. Pierre Bézier, chez Renault, développe le système UNISURF pour décrire des carrosseries par le calcul, et publie ses principes en 1971.^[4]

À ne pas confondre

Bézier n'est pas le premier: Chez Citroën, Paul de Casteljau avait mis au point une méthode équivalente dès la fin des années 1950. Son travail est resté interne, et c'est le nom de Bézier qui s'est imposé. L'algorithme de cette page porte, lui, le nom de De Casteljau.^[4]
La courbe ne passe pas par tous ses points: Elle part du premier point et arrive au dernier, mais les points du milieu l'attirent sans qu'elle les touche. Pour une courbe qui passe partout, il faut une autre méthode.^[5]
Un cercle n'est pas une courbe de Bézier: Une courbe de Bézier ordinaire ne peut pas tracer un cercle exact. Les logiciels l'approchent avec une erreur invisible à l'œil, de l'ordre de 0,03 % du rayon, ou utilisent une variante, dite rationnelle.^[5]

Bézier, 4 pointsÉpreuve n° 1