Une population qui grandit, puis se freine quand elle devient trop nombreuse. Augmente le taux de croissance : l'équilibre se dédouble, encore et encore, jusqu'au chaos.
Fais varier la figure
Épreuve n° 1. Chaque tirage change le calage des encres et le grain.
À r = 3,70, aucun cycle court n'apparaît : ici, deux départs séparés d'un millionième s'écartent nettement en 34 générations.
L’axe horizontal donne le taux de croissance r, l’axe vertical la population, en part de son maximum. Pour chaque r, le diagramme montre seulement les valeurs vers lesquelles la population finit par s’installer, et les gros ronds celles du réglage choisi.
Jusqu’à r = 3, il n’y a qu’une branche : la population atteint un équilibre. Elle se dédouble ensuite en cycles de 2, 4, 8 valeurs, de plus en plus vite, et ces cycles s’accumulent vers r ≈ 3,57. Au-delà, le dessin devient une nappe, mais pas partout : vers r = 3,83, un cycle de 3 valeurs réapparaît brièvement, visible comme une bande vide. Le titre suit la même suite : chaque lettre prend la taille d’une génération.
Ouvre à peine un robinet : les gouttes tombent à intervalles réguliers. Augmente le débit, et leur rythme peut se dédoubler puis devenir irrégulier. Des physiciens l'ont mesuré en 1985 : ce n'est pas cette équation, mais le même chemin vers le chaos.[7]
Robert May étudie ce type d'équation pour les espèces à reproduction saisonnière dont les générations ne se chevauchent pas, comme beaucoup d'insectes. Il montre en 1976 qu'une fluctuation désordonnée peut naître sans aucune cause extérieure.[1]
Feigenbaum montre en 1978 que les dédoublements se resserrent selon un rapport commun à toute une classe d'équations, 4,669… Dans du mercure chauffé, Libchaber et ses collègues mesurent 4,4 ± 0,1 : une équation de population annonce un comportement de fluide.[2][3][4]
Comme ses valeurs semblent aléatoires, cette équation a été proposée pour produire des nombres pseudo-aléatoires. Une analyse de 2012 montre qu'un ordinateur, par sa précision finie, la fait retomber sur des cycles : elle fait nettement moins bien que les générateurs classiques.[5]
Les réglages choisis plus haut composent l'affiche : chaque combinaison donne une figure différente.
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