Qu'est-ce que la loi normale ?

À chaque clou, une bille part à gauche ou à droite, au hasard. Impossible de prévoir où elle tombera. Mais ensemble, les billes dessinent toujours la même cloche.

Fais varier la figure

Rangées de clous14

Billes lâchées1 500

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}

Épreuve n° 1. Chaque tirage change le calage des encres et le grain.

Lire la figure

Sur 14 rangées, une bille finit en moyenne au centre, à 1,9 cases près : c'est l'écart-type. On attend 58 % des billes dans cette zone, contre 68 % pour la loi normale exacte.

Chaque bille rebondit sur une suite de clous et finit dans une case, selon le nombre de fois où elle est partie à droite. Les piles rouges sont un vrai tirage : chaque épreuve les change. La courbe bleue est la loi normale de même moyenne et de même écart-type.

Avec 30 billes, les piles sont irrégulières. Avec 3 000, elles épousent la courbe. C’est l’idée du théorème central limite : additionner beaucoup de petits effets indépendants donne une cloche, quelle que soit la forme de chacun, sous certaines conditions. Ici, ces petits effets sont les rebonds, et chaque bille est une somme de rebonds.

Loi normale : exemples concrets

La courbe de taille des enfants

Les courbes de croissance de l'OMS modélisent la taille des enfants d'un âge donné par une loi normale : elles situent chaque enfant par rapport aux autres. Le poids, lui, est plus asymétrique et demande un modèle différent.^[6]

Calculer sans tout additionner

Pour connaître la probabilité d'obtenir au moins 60 faces sur 100 lancers, il fallait additionner de longs calculs. Abraham de Moivre remarque que ces probabilités approchent une courbe lisse, et en trouve l'expression au XVIIIe siècle.^[1]

Annoncer une incertitude de mesure

Un laboratoire donne souvent un résultat avec une incertitude élargie par un facteur 2. Si la loi du résultat est proche d'une loi normale, cet intervalle a environ 95 % de chances de contenir la valeur mesurée.^[2]

Surveiller une production

Une carte de contrôle place des limites à 3 écarts-types autour de la moyenne, un standard de l'industrie. Avec cette seule règle, un procédé stable déclenche en moyenne une fausse alarme tous les 371 points.^[3]

À ne pas confondre

Tout n'est pas normal: En 1989, Theodore Micceri examine 440 grandes séries de résultats scolaires et psychométriques : toutes s'écartent significativement de la loi normale. La cloche est un modèle à vérifier, pas une loi de la nature.^[4]
La finance déborde de la cloche: Benoît Mandelbrot montre en 1963 que les variations du prix du coton comptent bien trop de valeurs extrêmes pour une loi normale. Dans ce genre de données, l'utiliser sous-estime les grands écarts.^[5]
Gauss n'est pas le premier: On parle de courbe de Gauss, mais de Moivre avait trouvé cette courbe avant lui. Gauss et Adrain l'ont reliée aux erreurs de mesure au début du XIXe siècle.^[1]

Galton, 1 500 billesÉpreuve n° 1