Chaînette ou parabole, quelle différence ?

Tiens un collier par ses deux bouts : il dessine une chaînette. Retourne cette courbe, et tu obtiens une arche qui tient debout.

Fais varier la figure

Creux de la chaîne1,00

y = a \cosh\frac{x}{a}

\cosh u = \frac{e^{u} + e^{-u}}{2}

Épreuve n° 1. Chaque tirage change le calage des encres et le grain.

Lire la figure

Pour ce creux, la chaîne mesure 49,6 % de plus que la distance entre les appuis. La parabole jaune s'en écarte au plus de 2,5 % de cette distance.

Les maillons bleus forment une chaîne qui pend. Les pierres rouges forment la même courbe, retournée. La bande jaune suit la parabole qui passe par les mêmes points : pour un faible creux, elle se confond avec la chaîne ; pour un grand creux, la chaîne s’en écarte, plus pointue en bas.

Essaie chez toi avec un collier ou une ficelle : quelle que soit la distance entre tes mains, c’est toujours une chaînette, seul son paramètre change.

Chaînette : exemples concrets

Les fils électriques au-dessus de la route

Entre deux pylônes, un câble pend selon cette courbe. Quand il fait très chaud, le métal s'allonge et le creux augmente : le câble se rapproche du sol. Pour les portées courtes, les ingénieurs se contentent d'une parabole, très proche.^[1]^[2]

Le mot « caténaire », au-dessus des trains

Le câble qui alimente les trains porte le nom de cette courbe, du latin catena, la chaîne. Le câble porteur pend au-dessus du fil de contact, que le train touche pour capter le courant.^[3]

Les arches de pierre qui tiennent debout

Robert Hooke le résume en 1675 : la forme d'une chaîne qui pend, retournée, donne celle d'une arche rigide. La chaîne ne travaille qu'en traction, l'arche retournée qu'en compression, ce qui convient à la pierre.^[4]

Les maquettes suspendues de Gaudí

Antoni Gaudí utilisait des arcs caténaires et des maquettes suspendues : la forme se règle à l'envers, avec des fils qui pendent, puis il suffit de la retourner.^[5]

À ne pas confondre

L'arche de Saint-Louis n'est pas une chaînette pure: On la cite souvent en exemple, mais sa forme est une chaînette modifiée, dite pondérée, parce que l'arche est plus épaisse à la base qu'au sommet.^[6]
Un pont suspendu suit plutôt une parabole: Une chaîne porte son propre poids, réparti le long de sa courbe. Le câble d'un pont suspendu porte surtout un tablier, réparti à l'horizontale : sa forme se rapproche alors de la parabole. Il en va de même pour le câble porteur d'une caténaire de train.^[3]^[7]
Galilée parlait d'une parabole: En 1638, Galilée compare la chaîne à une parabole, ce qui marche bien pour un faible creux. La vraie équation est publiée en 1691 par Leibniz, Huygens et Jean Bernoulli.^[8]