À quoi sert la transformée de Fourier ?

Toute courbe fermée peut se décomposer en cercles qui tournent à des vitesses différentes. Plus il y a de cercles, plus le tracé colle à la forme.

Fais varier la figure

Nombre de cercles8

z(t) = \sum_{n} c_n \, e^{2 i \pi n t}

c_n = \int_0^1 z(t) \, e^{-2 i \pi n t} \, dt

Épreuve n° 1. Chaque tirage change le calage des encres et le grain.

Lire la figure

Avec 8 cercles, le tracé s'écarte en moyenne de 1,6 % de la taille de la forme.

Chaque cercle tourne à vitesse constante, accroché au bord du précédent. Les plus grands dessinent l’allure générale, les plus petits ajoutent les détails. Les angles vifs de la lettre L demandent beaucoup de cercles ; le huit n’en demande que quatre : deux fréquences, portées chacune par deux cercles qui tournent en sens opposés.

Transformée de Fourier : exemples concrets

Alléger une photo

Le JPEG avec perte repose sur la transformée en cosinus discrète, cousine de celle de Fourier : l'image est décrite par des fréquences, dont la précision est ensuite réduite.^[2]

Reconnaître une chanson avec Shazam

L'algorithme publié par Shazam réduit un extrait à une constellation de pics de spectrogramme, une analyse des fréquences au fil du temps. Il compare ensuite des paires de pics à sa base de morceaux.^[4]

Reconstruire une image d'IRM

Les données brutes d'une IRM sont des échantillons de la transformée de Fourier de la zone observée. Une transformée inverse permet de retrouver l'image, avec des méthodes plus élaborées quand les données sont incomplètes.^[3]

À ne pas confondre

Plus de cercles ne supprime pas tous les défauts: Pour une fonction qui saute brusquement, la somme de Fourier dépasse le saut d'environ 9 %, et ajouter des termes ne fait pas disparaître ce dépassement. C'est le phénomène de Gibbs, décrit dès 1848 par Henry Wilbraham.^[5]
Fourier cherchait à décrire la chaleur: Ces séries viennent de son étude de la propagation de la chaleur, publiée en 1822. Leurs usages en image et en son sont bien plus récents.^[1]