Qu'est-ce que l'effet papillon ?

Deux points partent presque du même endroit. Ils tournent ensemble, puis l'un change d'aile avant l'autre : à partir de là, plus rien ne les relie.

Fais varier la figure

Chauffage ρ28Tourner la vue0°

\dot{x} = \sigma (y - x)

\dot{y} = x (\rho - z) - y

\dot{z} = x y - \beta z

\sigma = 10, \quad \beta = \tfrac{8}{3}, \quad \rho = 28

Épreuve n° 1. Chaque tirage change le calage des encres et le grain.

Lire la figure

À ρ = 28, le point s'agite encore après 200 unités de temps : deux départs séparés d'un cent-millième se quittent après 25,1 unités.

Le ruban suit un point dans un espace à trois dimensions. Il change d’encre à chaque passage d’une aile à l’autre, et s’élargit quand le point va vite. Le trait jaune suit un second point, parti à un cent-millième du premier : il reste caché dessous, puis s’en écarte.

Le réglage ρ joue le rôle du chauffage. Tant qu’il reste faible, le point finit par se poser. Lorenz calcule que ce repos cesse d’être stable au-delà de 24,74, et choisit 28, juste au-dessus. Là, le trajet ne se répète plus, mais reste toujours sur la même forme : on ne sait plus où sera le point, on sait seulement qu’il sera sur le papillon.

Attracteur de Lorenz et effet papillon : exemples concrets

Pourquoi la météo à 15 jours se trompe

Ton appli affiche une icône pour dans 15 jours, mais il faut s'en méfier. Lorenz montre en 1963 que des états très proches peuvent finir très différents, et une étude de 2019, menée avec deux grands modèles, situe la limite des prévisions vers deux semaines, même avec des données presque parfaites.^[1]^[2]

Décrire l'instabilité d'un laser

En 1975, Hermann Haken montre que les équations d'un laser à un seul mode ont la même forme que celles de Lorenz. Un modèle né de la convection d'un fluide décrit donc aussi de la lumière.^[3]

Synchroniser deux circuits chaotiques

Cuomo et Oppenheim construisent en 1993 un circuit analogique qui suit le système de Lorenz. Ils s'en servent pour démontrer deux façons de transmettre un message dans un signal chaotique que seul un circuit synchronisé sait lire.^[4]

À ne pas confondre

Un papillon ne déclenche pas de tornade: L'image parle de sensibilité, pas d'une cause qu'on pourrait retrouver. Palmer et ses collègues soulignent même que l'effet décrit par Lorenz en 1969 est autre chose : une limite de temps à la prévision, qui n'est pas la simple sensibilité du système à trois équations.^[5]
Ce n'est pas la météo: Ces trois équations représentent une convection idéalisée, celle d'un fluide chauffé par dessous. Elles ne prévoient aucun temps réel : elles montrent ce qu'un système très simple peut déjà faire.^[1]
Vu en 1963, démontré en 1999: Lorenz précise que ses conclusions, tirées d'un calcul numérique, ne sont pas une preuve mathématique. Il faut attendre Warwick Tucker, qui démontre l'existence de l'attracteur par des calculs numériques rigoureux.^[1]^[6]