Le pneu et le catadioptre de ton vélo
Un point du pneu dessine une cycloïde et s'arrête un instant quand il touche le sol. Le catadioptre, plus près du centre, dessine une courbe qui ondule sans jamais toucher le sol.[1]
Colle une gommette sur le pneu de ton vélo et avance : elle dessine une suite d'arches. Retournée, cette même courbe est la descente la plus rapide.
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Épreuve n° 1. Chaque tirage change le calage des encres et le grain.
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Ce point est au bord de la roue : il dessine une cycloïde et s'arrête un instant quand il touche le sol. Dans la course du bas, la bille de la cycloïde arrive 16 % plus tôt que celle de la droite.
En haut, une roue roule sur le sol, et la courbe rouge suit le point choisi. Au bord, c’est une cycloïde. Plus près du centre, la courbe ondule, comme pour un catadioptre. Au-delà du bord, elle fait des boucles : à cet instant, le point recule alors que la roue avance. C’est le cas d’un point qui dépasserait de la roue.
En bas, deux billes partent du même endroit. Les points sont pris à intervalles de temps égaux : celle de la courbe descend d’abord à pic et prend vite de la vitesse, si bien qu’elle gagne, alors que son chemin est plus long.
Soyons honnêtes : à part dans les montres, on croise rarement cette courbe en dehors des cours de physique. Elle reste l’un des plus beaux résultats de l’histoire des maths.
Cycloïde et brachistochrone : exemples concrets
Les engrenages des montres mécaniques
Dans les montres et les horloges, beaucoup de dents d'engrenage ont un profil issu de cette famille de courbes. Il limite les frottements et convient aux tout petits pignons, même si d'autres profils existent aussi.[2][3]
La descente la plus rapide
En 1696, Jean Bernoulli lance un défi : quelle courbe mène une bille d'un point à un autre le plus vite possible ? La réponse, publiée en 1697 avec celles de Newton, Leibniz et d'autres, est une cycloïde, pas une ligne droite.[4]
Le pendule parfait de Huygens
Sur une cycloïde, une bille met le même temps à descendre, d'où qu'elle parte. En 1673, Christiaan Huygens s'en sert pour imaginer une horloge dont le rythme ne dépend pas de l'amplitude.[5]
À ne pas confondre
- Le résultat suppose l'absence de frottement
- Avec du frottement, la meilleure courbe n'est plus une cycloïde. Il ne faut donc pas en conclure qu'un toboggan ou une piste réelle doit avoir exactement cette forme.[6]
- L'horloge de Huygens n'a pas percé
- L'idée est belle, mais elle posait trop de problèmes mécaniques pour se répandre dans les horloges à pendule.[5]
- Galilée s'était trompé
- En 1638, Galilée pensait que la descente la plus rapide suivait un arc de cercle. L'arc bat bien la ligne droite, mais il ne bat pas la cycloïde.[4]
Ta figure, en affiche
Les réglages choisis plus haut composent l'affiche : chaque combinaison donne une figure différente.
Commander l'afficheSources
- « Trochoid », Mathwords
- « Cycloid gear », Wikipédia (en anglais)
- « Gear Design: The Backbone of Watchmaking », Revolution
- « Brachistochrone curve », Wikipédia (en anglais)
- « Tautochrone curve », Wikipédia (en anglais)
- N. Ashby, W. E. Brittin, W. F. Love, W. Wyss, « Brachistochrone with Coulomb friction », American Journal of Physics, vol. 43, n° 10, 1975, p. 902-906
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