Test positif : suis-je vraiment malade ?

Un test fiable à 95 % vient de dire oui. Tu as 95 % de risques d'être malade ? Non : si la maladie est rare, la plupart des positifs sont des erreurs.

Fais varier la figure

Personnes malades1 %Fiabilité du test95 %

P(M \mid +) = \frac{P(+ \mid M)\, P(M)}{P(+)}

Épreuve n° 1. Chaque tirage change le calage des encres et le grain.

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Sur 1 000 personnes testées, 60 sont positives : 10 sont vraiment malades et 50 ne le sont pas. Avec un test positif, le risque d'être malade est d'environ 16 %.

Chaque point est une personne. Les points rouges pleins sont les malades que le test détecte, les bleus sont les faux positifs : des gens en bonne santé que le test accuse à tort. Les ronds creux sont les malades qu’il rate, et les petits points jaunes tous les autres.

Le grand nombre répond à ta question : parmi les rouges et les bleus, quelle part est vraiment malade ? Avec une maladie rare, les bleus sont bien plus nombreux, car une petite erreur sur 990 personnes en bonne santé pèse plus lourd qu’un bon score sur 10 malades. Augmente la part de malades : le même test devient beaucoup plus parlant.

Cette page sert à comprendre le raisonnement : pour un vrai résultat, c’est à un médecin de l’interpréter.

Théorème de Bayes : exemples concrets

Lire le résultat d'un test médical

Un même résultat ne veut pas dire la même chose pour tout le monde. Un article du BMJ sur les tests de Covid-19 le rappelle : il faut tenir compte de la probabilité de départ, selon l'épidémie locale, les symptômes et les contacts.^[1]

Trier tes e-mails

Un filtre antispam regarde les mots d'un message et calcule la probabilité que ce soit un indésirable. L'idée est publiée en 1998, puis popularisée en 2002 par Paul Graham, dont le filtre laisse passer moins de 5 spams sur 1 000.^[2]^[3]

Mieux expliquer un risque

Quand on donne des pourcentages à des médecins, environ 10 % des réponses sont justes. Avec des nombres de personnes, comme sur cette page, on passe à 46 %. Compter des gens aide donc tout le monde à raisonner.^[4]

Retrouver l'épave du vol AF 447

Après deux ans de recherches, le BEA fait établir une carte de probabilités qui combine tous les indices, y compris les recherches ratées. L'épave est trouvée en une semaine de nouvelles recherches.^[5]

À ne pas confondre

L'erreur peut envoyer en prison: Au procès de Sally Clark, un chiffre de 1 sur 73 millions a été présenté comme décisif. La Royal Statistical Society a dénoncé en 2001 ce chiffre sans base statistique, et il ne mesurait de toute façon pas la probabilité d'innocence. Sa condamnation a depuis été annulée.^[6]
Ce dessin simplifie la fiabilité: Ici, le test se trompe autant sur les malades que sur les autres. Un vrai test a deux chiffres distincts, la sensibilité et la spécificité, et l'article du BMJ montre que leurs erreurs n'ont pas le même effet.^[1]
Tout dépend du point de départ: Le calcul exige une probabilité de départ, qui n'est pas toujours connue. Pour une personne qui a des symptômes et des contacts à risque, elle est bien plus élevée que dans la population générale, et le même test positif compte alors beaucoup plus.^[1]

Bayes, 16 %Épreuve n° 1